「サーバーが応答しませんでした。ログインページに戻り、もう一度お試しください。」はモバイル端末のVPNが有効になっている場合に表示されます。

ご利用端末のVPNなど、接続位置を変更または迂回するアプリを全て無効にしていただいた上で、ゲームを起動してみてください。

 

それから、日本ではなく他の国でご利用する際にも同じ問題が発生する可能性があります。
その際には、該当国家で提供されているPUBGモバイルをインストールし、ご利用ください。